Superficies mínimas: el catenoide entre dos aros

Toma dos aros metálicos del mismo diámetro, sumérgelos en agua jabonosa y sepáralos lentamente frente a una ventana. La película que se forma entre ellos tiene una cintura: se estrecha en el centro y se ensancha hacia los bordes. Esa forma tiene nombre —catenoide— y una historia matemática que arranca en 1744, cuando Leonhard Euler la describió como la primera superficie mínima no plana conocida por la humanidad.

Qué es una superficie mínima

Una superficie mínima es aquella cuya curvatura media es cero en todos sus puntos. En términos físicos, eso significa que la tensión superficial no tiene componente neta perpendicular a la película: la superficie está en equilibrio. Matemáticamente, son soluciones a la ecuación de Euler-Lagrange aplicada al funcional de área, es decir, son exactamente las superficies que minimizan el área para un contorno dado. Jean Baptiste Meusnier demostró en 1776 que el catenoide y el helicoide satisfacen esta ecuación.

La catenaria que gira

El catenoide se obtiene rotando una catenaria —la curva que forma una cadena colgante por la gravedad— alrededor de su eje. Su ecuación en coordenadas cilíndricas es r = a·cosh(z/a), donde *a* es el radio en la cintura y *cosh* es el coseno hiperbólico. Esta forma no es arbitraria: es la única superficie de revolución que minimiza el área entre dos circunferencias paralelas. El cálculo de variaciones lo demuestra imponiendo que la primera variación del funcional de área sea cero.

La distancia crítica y el colapso de Goldschmidt

Hay un límite. Si separas los aros demasiado —cuando la distancia entre ellos supera aproximadamente 1,33 veces el radio de los aros— el catenoide se vuelve inestable. La cintura se estrecha, se rompe y la película colapsa en dos discos planos independientes. Esta solución discontinua fue descrita por Carl Wolfgang Goldschmidt en 1831 y es un ejemplo clásico de transición de fase en variaciones: el mínimo global deja de ser el catenoide y pasa a ser los dos discos. El catenoide fino que aparece justo antes del colapso es un mínimo local, no global, y por eso es inestable.

El experimento como laboratorio de cálculo

Lo notable es que la película de jabón resuelve el problema variacional en tiempo real, sin ecuaciones. La tensión superficial actúa como el funcional de área; el equilibrio mecánico hace el trabajo del cálculo. Investigadores de la Universidad de Cambridge publicaron en 2021 en Physical Review E mediciones detalladas de la geometría del colapso del catenoide, encontrando que el cuello adopta un ángulo cónico universal independiente de la viscosidad del líquido.

Para reproducirlo en casa

Necesitas dos aros —pueden ser de alambre o los anillos que forman algunas varitas burbujeras de gran formato— y una mezcla con algo de polímero para que la película aguante más. Acerca los aros a unos 2 cm de distancia, extrae la película y luego sepáralos muy despacio, milímetro a milímetro. Verás la cintura adelgazarse hasta que, en un instante, la película se parte. Acabas de reproducir el problema que ocupó a los mejores matemáticos del siglo XIX.